Publié le 2025-10-22 06:20:00. Le mathématicien Hermann Weyl a profondément exploré les fondements de la relativité générale, en cherchant à unifier gravitation et électromagnétisme à travers une géométrie novatrice. Ses travaux ont conduit à une remise en question fondamentale de notre compréhension de l’espace-temps et de ses propriétés.
- L’intérêt de Weyl pour le projet de RZM s’inscrit dans une démarche plus large de clarification des fondements mathématiques des théories physiques.
- Il a développé une « géométrie purement infinitésimale », révisant la notion de courbure et proposant une nouvelle interprétation des champs fondamentaux.
- Ses idées, bien qu’admirables, ont suscité des débats et des réserves, notamment de la part d’Albert Einstein.
L’œuvre de Hermann Weyl, notamment son ouvrage Raum ⋅ Zeit ⋅ Materie (Espace ⋅ Temps ⋅ Matière), témoigne d’une profonde interrogation sur les fondements mathématiques. Au-delà de la simple application aux équations du champ gravitationnel, Weyl s’est attaqué aux bases géométriques de la relativité générale. Son exploration d’une géométrie « purement infinitésimale » a permis d’éclaircir les structures affines, métriques et conformes au sein d’une variété générale.
Une première illustration de cette démarche est apparue dans une correction apportée à la deuxième édition de Raum ⋅ Zeit ⋅ Materie. Weyl y réajustait une affirmation concernant la structure conforme de la métrique. Il avait initialement suggéré que la structure de l’espace-temps pouvait être entièrement déduite de l’observation locale de signaux lumineux. La correction, publiée dans une note de bas de page de son article « Reine Infinitesimalgeometrie » (Géométrie purement infinitésimale) daté du 18 juin 1918, précisait qu’une détermination complète de la métrique nécessitait non seulement la connaissance du cône de lumière en chaque point, mais aussi des informations géodésiques relatives au mouvement des particules. Cette subtile distinction marquait une étape clé vers une compréhension plus fine des propriétés intrinsèques de l’espace-temps.
Dans cet article de 1918, Weyl introduit sa notion de transport parallèle, définissable indépendamment d’un espace de référence externe. Il distingue alors clairement la connexion affine \(\nabla\), caractérisée par ses coefficients \(\Gamma ^{a}_{bc}\), et le champ métrique \(g\). La compatibilité métrique impose l’unicité de la connexion, conduisant à la connexion de Levi-Civita. Contrairement à Einstein qui avait initialement intégré la courbure de Riemann directement via la métrique, Weyl démontre que cette courbure émerge indépendamment de la métrique, simplement par la connexion. Elle peut être calculée en observant le déficit d’un vecteur transporté parallèlement le long d’un chemin fermé.
Weyl pousse sa réflexion plus loin, arguant que cette définition de la courbure présuppose un élément résiduel lié à la mesure des distances. Il souligne que la comparaison de vecteurs situés en des points distincts nécessite l’introduction d’une structure et d’une connexion affines. Le caractère local de cette connexion introduit une non-intégrabilité du transport parallèle. Cependant, Weyl note que, dans ce cadre, la longueur du vecteur reste invariante, permettant la comparaison des longueurs. La comparaison des directions, en revanche, dépend du chemin emprunté.
Pour éliminer cet « élément résiduel », Weyl propose une « connexion de longueur », par analogie avec la connexion affine. Au-delà de la forme quadratique \(ds^{2}=g_{ik}dx^{i}dx^{k}\), il introduit une forme différentielle linéaire \(d\varphi = \varphi _{i}dx^{i}\) qui régit le transport en longueur. Parallèlement, le champ métrique \(g\) est réduit à une classe conforme de métriques \([g]\), où deux métriques sont conformes si elles ne diffèrent que par un facteur scalaire commun \(\lambda\). La connaissance du cône de lumière détermine cette classe, mais pas la métrique complète. C’est le facteur \(\varphi \) qui fixe désormais la longueur absolue, l’équivalent d’une règle de mesure en chaque point. Weyl postule que la théorie doit permettre un recalibrage indépendant des mesures de longueur, concept qu’il nomme « invariance de jauge » (« Eichinvarianz »). Mathématiquement, cela implique une transformation simultanée de \(g_{ik}\) et \(d\varphi\).
En analysant l’analogue de la boucle de Levi-Civita pour cette connexion de longueur, Weyl montre que le déficit de longueur \(\Delta l=-l\Delta \varphi \), calculé autour d’un parallélogramme, conduit à une expression du type \(\Delta \varphi =f_{ik}dx_{i}\delta x_{k}\). Il nomme le tenseur résultant \(f_{ik}=\varphi _{i,k}}-\varphi _{k,i}\) la « courbure de longueur » (« Streckenkrümmung »). Ce tenseur est invariant sous les transformations de jauge. La géométrie riemannienne conventionnelle est retrouvée lorsque \(\varphi \) est nul, cas que Weyl qualifie de « jauge normale ».
L’audace de Weyl réside dans son interprétation physique de ces nouvelles quantités. Il identifie les composantes \(\varphi _{i}\) au potentiel quadridimensionnel électromagnétique et la courbure de longueur \(f\) au champ électromagnétique. Les équations de Maxwell pour le vide sont ainsi automatiquement satisfaites. L’absence de courbure de longueur sur une variété spatio-temporelle signifierait l’absence de champ électromagnétique. L’idée était une tentative pionnière d’unification de la gravitation et de l’électromagnétisme, liant étroitement la géométrie et la physique.
Weyl soumet son manuscrit pour publication à l’Académie prussienne en avril 1918, avec le soutien d’Einstein, qui qualifie l’approche d’« admirable coup de génie » et d’« argumentation merveilleusement cohérente ». Cependant, Einstein exprime de sérieuses réserves : l’introduction d’une courbure de longueur impliquerait que la longueur des étalons ou la cadence des horloges dépendraient de leur histoire, une conséquence jamais observée. Malgré ses doutes, Einstein présente l’article, mais les académiciens s’opposent à une publication qu’il n’approuve pas pleinement. La controverse est résolue par l’ajout d’un addendum par Einstein expliquant son objection, auquel Weyl peut répondre.
Ces développements sont intégrés dans une troisième édition révisée de Raum ⋅ Zeit ⋅ Materie, publiée à l’automne 1919. Le chapitre sur la géométrie riemannienne est considérablement remanié, et le chapitre sur la relativité générale intègre les réflexions de Weyl sur une théorie unifiée des champs. Dans sa préface, Weyl évoque la capacité de la connaissance à offrir un « réconfort dans des temps troublés », invitant à contempler « l’harmonia mundi ». Einstein, quant à lui, exprime ses doutes, considérant que Weyl a « complètement gâché la relativité » et que sa théorie, bien qu’« ingénieuse », pourrait s’avérer une « absurdité » que le temps seul jugera.