Publié le 2025-10-16 08:55:00. La musique, cet art universel, entretient une relation profonde et millénaire avec les mathématiques. Des découvertes pythagoriciennes aux systèmes d’accordage modernes, les nombres et la logique ont façonné la théorie et la pratique musicale, comme l’illustre le diagramme du Tonnetz.
- La relation entre musique et mathématiques est ancienne, remontant aux travaux de Pythagore sur les rapports numériques des notes harmonieuses.
- Le Tonnetz, une visualisation géométrique des relations harmoniques, trouve ses origines chez Léonhard Euler au XVIIIe siècle.
- L’évolution des systèmes d’accordage, de l’intonation juste au tempérament égal, témoigne des compromis entre perfection mathématique et musicalité audible.
- Des expériences audacieuses comme la musique sérielle de Schönberg ont exploré les limites de l’application des principes mathématiques à la composition, mais ont rarement conquis le grand public.
Le lien subtil entre les mathématiques et la musique est joliment mis en lumière par le concept du Tonnetz. Ce diagramme géométrique dépeint les intrications harmoniques au sein de la gamme musicale. Une première esquisse de cette représentation a vu le jour en 1739 sous la plume de Léonhard Euler, dans son ouvrage « Tentamen Novae Theoriae Musicae » (Essai d’une nouvelle théorie de la musique). Une version moderne de ce diagramme, telle que présentée dans l’illustration ci-jointe, regroupe les notes aux relations étroites : la triade de do majeur, composée des notes Do-Mi-Sol, se matérialise sous la forme d’un triangle rouge sombre, tandis que son accord mineur relatif, la mineur, apparaît en bleu foncé à ses côtés.
Les Pythagoriciens furent parmi les premiers à observer que deux notes consonantes partageaient un lien, souvent défini par de petits nombres entiers. S’inspirant du tintement des enclumes frappées par des marteaux, Pythagore démontra l’existence de relations numériques simples entre des notes harmoniquement liées. Il constata qu’en réduisant la longueur d’une corde vibrante de moitié, sa hauteur doublait ; une diminution d’un tiers de longueur produisait une quinte parfaite. Cette quête de rapports simples a posé les bases de l’accordage musical.
Le défi de l’accordage réside dans la manière de diviser l’octave en intervalles plus petits et agréables à l’oreille. Pythagore réussit à construire les sept notes de la gamme diatonique, notre bien connue gamme de do majeur, en utilisant uniquement les rapports 2:1 et 3:2. Cependant, à mesure que ces intervalles s’additionnent, les nombres dans les rapports s’envolent rapidement.
Une simplification de ce schéma a donné naissance à une méthode d’accordage appelée « intonation juste ». Cette approche privilégie des rapports numériques plus petits, offrant une sonorité plus pure. Dans le cas de l’intonation juste, les trois notes de la triade de do majeur sont dans des rapports de hauteurs de 4:5:6.
Le principal inconvénient de l’intonation juste est que les notes, une fois accordées pour une tonalité donnée, sonnent de manière dissonante dans une autre. Avec l’évolution de la musique et l’usage croissant des modulations, les limites de ce système d’accordage sont devenues évidentes. C’est ainsi qu’est né le système d’accordage « bien tempéré », plus flexible, qui assure un rapport de hauteur identique entre deux notes adjacentes. Dans une gamme chromatique de 12 demi-tons, ce rapport est la racine douzième de deux.
Jean-Sébastien Bach a d’ailleurs illustré la puissance et la polyvalence de ce système d’accordage bien tempéré en composant un ensemble de 24 préludes et fugues, un pour chaque tonalité majeure et mineure.
Il est toutefois important de noter que le tempérament égal représente un compromis. Bien que les intervalles suivent une progression géométrique parfaite, certains d’entre eux, comme la quinte, ne sont plus acoustiquement parfaits. Ces écarts sont si minimes que ce système est devenu quasiment universel. Comme l’a spirituellement observé un puriste, il « rend tous les intervalles également imparfaits ». Néanmoins, la gamme tempérée égale constitue une contribution mathématique fondamentale à l’art musical.
Des tentatives ont été menées pour composer de la musique en appliquant strictement des principes mathématiques, cherchant à s’affranchir des contraintes du système tonal traditionnel. L’exemple le plus extrême est sans doute la musique sérielle d’ Arnold Schönberg, qui soutenait que chacune des 12 notes de la gamme chromatique devait avoir un statut et une importance égaux. Schönberg a ainsi démantelé les fondements tonals de la musique classique.
Si Mark Twain n’a pas eu l’occasion d’entendre de la musique dodécaphonique, sa description de la musique de Wagner pourrait bien s’appliquer à Schönberg : « On me dit que sa musique est bien meilleure qu’elle n’en a l’air ! ». Albert Einstein alla même plus loin, la qualifiant de folie.
La musique dodécaphonique pourrait être qualifiée d’échec héroïque : aujourd’hui, elle est plus souvent étudiée qu’écoutée. La musique a le pouvoir de toucher nos émotions, et les seuls principes mathématiques s’avèrent insuffisants pour cela. Léonard Bernstein affirmait que si la musique est née de la science, elle demeure un art mystérieux et métaphorique, et que « toute explication de la musique doit combiner mathématiques et esthétique ».
Peter Lynch est professeur émérite à la School of Mathematics & Statistics de l’University College Dublin. Il tient un blog sur thatsmaths.com.